Geometría et Alter

Parábola, algunas propiedades y Arquímedes

2012-01-16T15:14:00.000-03:00

En el artículo que les dejo hoy a mano (autor: Néstor Aguilera), titulado "Apuntes sobre la parábola: su medición según Arquímedes y otras propiedades", podrán ver algunas propiedades llamativas de la parábola y también consideraciones acerca de cómo Arquímedes calculó el área del segmento parabólico.
(Descargar)

La Asociación Fibonacci

2012-01-06T19:00:00.000-03:00

(clic aquí para acceder al artículo)

Portal "Wiki" de geometría, ¡muy bueno!

2011-10-07T23:34:00.001-03:00

Interesante página de la amiga Wikipedia sobre geometría, donde aparecen reunidas informaciones, alguna curiosidad, vínculos.... Los invito a acceder. Clic AQUÍ o en "Enlaces a mano".

Póster de geometría proyectiva

2011-10-07T23:23:00.001-03:00

La geometría proyectiva es un universo en sí misma, pleno de relaciones maravillosas que no siempre el profano logra visualizar. Puntos en el infinito, la sorprendente dualidad, alineaciones de puntos y concurrencia de rectas bajo rigurosas leyes, son sólo una parte de su contenido.
Les dejo aquí un póster-resumen de algunos aspectos fundamentales de la geometría proyectiva, tanto de su teoría como de su historia.
Fuente: Universidad Complutense de Madrid.
En la imagen: el teorema de Brianchon.
Clic AQUÍ para descarga, o a la derecha del blog.

¿Conocen el poliedro de Császár?

2011-08-12T21:36:00.001-03:00

¡La geometría siempre deparándonos sorpresas!
Se trata de un extraño poliedro cóncavo de 14 caras triangulares que no tiene diagonales. Además, equivale topológicamente a un toro y sus 7 aristas y 21 vértices forman el grafo completo K7 sobre una superficie toroidal.
Este curioso poliedro recibe su nombre por el topólogo húngaro Ákos Császár, que lo descubrió en 1949.
Les dejo aquí dos enlaces para conocerlo mejor:
Enlace 1 (Wikipedia) Enlace 2

Exquisiteces triangulares

2011-08-09T20:03:00.001-03:00

El triángulo ha sido históricamente una de las figuras más estudiadas. A tal punto que los matemáticos le han encontrado puntos, rectas, circunferencias e incluso otros triángulos, asociados a él. Circuncentro, incentro, centroide, ortocentro, son puntos notables y conocidos. La recta de Euler y la de Simson, también son bastante mencionadas. Lo mismo para las circunferencias inscrita, circunscrita y de los nueve puntos. ¿Pero conocen el punto de Nagel? ¿Y el punto de Gergonne? ¿Y los puntos conjugados isogonal e isotómico de un punto de triángulo? ¿Y el triángulo podario? ¿Y el diámetro de Brocard?

En el artículo que aquí les dejo hay cosas raras como ésas y más, ya que se habla de cónicas vinculadas a triángulos, tales como la hipérbola de Kiepert, la elipse de Steiner, etcétera.

En fin, todo un festival de exquisitos bocadillos triangulares. Clic AQUÍ para descargar o en "Artículos y libros para descargar". (Autores: Evgeniy Kulanin, Alexei Myakishev)

La enseñanza de la geometría

2011-08-05T08:29:00.001-03:00

¡Hola a todos! Muchas veces, al menos en nuestra realidad escolar, la geometría es llamada "la Cenicienta". Y con razón: maltratada y dejada de lado. En este sentido y sobre la enseñanza tan descuidada actualmente de la geometría, les dejo aquí una colaboración para leer on-line. Se trata de "La enseñanza de la geometría y el asesinato en el Mathematics Express", del profesor español Claudi Alsina (foto). Sin duda, quienes tenemos responsabilidades de enseñar matemática, algo podremos hacer al respecto. (CLIC PARA VER)

(Colaboración de la profesora Silvana Gayoso)

La geometría de Lobachevski

2011-04-29T09:48:00.002-03:00

Desde aquí podrán descargar el libro "Acerca de la geometría de Lobachevski" de A. S. Smogorzhevski. En él se expone de manera breve, aunque no elemental, lo fundamental de la geometría hiperbólica, también conocida como de Gauss, Lobachevski y Bolyai. En la imagen, a la izquierda del gran matemático ruso, vemos las paralelas a la recta AB en esta geometría, tan extraña como apasionante. (Descargar) Nota: archivo rar

El romboedro de Melancolía I

2010-12-13T00:00:00.002-03:00

¡Hola a todos! Conseguí navegando por allí un documento interesante, escrito por un catedrático español de Dibujo, el profesor José María Valero Navarro, titulado: El enigmático poliedro de Melancolía I. Hace referencia al romboedro que aparece en el célebre cuadro de Durer (que por este momento, diciembre 2010, adorna la portada de nuestro blog y que lo pueden descargar más abajo...). En el escrito el profesor Valero Navarro nos muestra cómo Durer hizo gala de profundos conocimientos de geometría y dibujo para poner ese poliedro allí y de esa forma. ¡Bueno, véanlo ustedes! (Clic para descarga, AQUÍ).

Pitágoras, el teorema eterno

2010-11-28T20:49:00.001-03:00

El bellísimo teorema de Pitágoras fue y es uno de los pilares de toda la matemática. De él existen innumerables demostraciones, las que recurren a los más diversos procedimientos, sencillos unos, ingeniosos otros... También están los maravillosos rompecabezas pitagóricos...
Aquí les dejo dos vínculos para aprender más sobre el magister matheseos (así se lo llamaba en la Edad Media):
1) Clic AQUÍ para acceder a una página donde se muestran varias demostraciones, una de las cuales está animada.
2) Clic ACÁ para descargar un documento pdf con más demostraciones (autor: Francisco J. García Capitán)
Por supuesto que habría mucho más para mostrar... ¡el tema es infinito!

Cónicas: teoremas de Dandelin y algo más.

2010-11-07T23:29:00.002-03:00

¡Hola! Les dejo aquí un material que hallé en una incursión por los laberintos de la Internet. Se trata de un buen material sobre parábola, elipse e hipérbola, que presenta algunos aspectos geométricos de estas curvas, pero sin la utilización de sus ecuaciones. Luego de explicar con buenos gráficos su generación a partir de la superficie cónica cortada por un plano, nos presenta los bellisimos teoremas de Dandelin (¡no se los pueden perder, es estética pura!), las circunferencias focal y principal y las construcciones básicas de estas hermosas curvas cuyas propiedades nos asombran. (El material proviene de una cátedra de las ETSI Navales = Escuelas Técnicas Superiores de Ingenieros Navales, España). Descarga: clic AQUÍ.

La matemática de Fidel

2010-10-13T23:51:00.001-03:00

Les dejo aquí (y a la derecha) un vínculo al sitio web venezolano "La matemática de Fidel", en el cual podemos encontrar varios recursos didácticos, tales como videos sobre temas matemáticos "de aula", guías de estudio, etc. Todo suma. El vínculo es http://www.lamatematicadefidel.com/

(Colaboración de Luis E. Gómez)

¿Conocen los "Spidrons"?

2010-10-03T19:01:00.001-03:00

¡Qué agradable sorpresa ha sido para mí "descubrir" los spidrons!
¿Qué es un spidron? Diré brevemente que es una figura plana construida a partir de una secuencia alternada de triángulos equiláteros y triángulos isósceles (de ángulos 30º, 30º y 120º). Pero lo más interesante es que con ellos pueden realizarse cubrimientos del plano y del espacio, y también poliedros de una complejidad y belleza maravillosas.

Los spidron vienen de Hungría, ya que fueron inventados por el artista-matemático húngaro Dániel Erdély en 1979.
Soy tan nuevo en esto como ustedes, así que seguiré buscando curiosamente. Les dejo aquí algunos vínculos de los muchos que hay, para que indaguen en este "nuevo y maravilloso mundo".

Página principal de "spidrons": http://www.spidron.hu/
Sistemas "spidron" (Clic AQUÍ)

Bellos teoremas

2010-09-16T23:34:00.001-03:00

La geometría presenta a veces una fría y austera belleza, diferente de la que nos presentan los vistosos poliedros y polígonos, o las maravillosas curvas y superficies del espacio. La belleza a que me refiero es la de la proporción y la posición, la de la colinealidad de puntos y la concurrencia de líneas.
Les dejo aquí un material (de autor desconocido, lástima), titulado "Concurrencia y colinealidad", que agrupa en un solo documento estas hermosas proposiciones geométricas de matemáticos de todas las épocas: teoremas de Menelao, de Ceva (imagen), de Desargues, de Pappus, de Pascal, de Brianchon y de Carnot.
Y por si fuera poco, ¡también hay ejercicios de cada teorema! (DESCARGAR)

La elipse según Martin Gardner... y homenaje

2010-05-30T21:59:00.005-03:00

¡Hola a todos! Luego de un largo tiempo, al fin de nuevo en el blog. En esta ocasión les dejo para descargar un atractivo capítulo (el 15) del libro del famoso Martin Gardner, Nuevos pasatiempos matemáticos (Alianza Editorial, Madrid: 1980), referido a una curva plena de propiedades interesantes: la vieja y nunca bien ponderada elipse.
Sirva esto, además, de modesto HOMENAJE a tan ilustre divulgador científico estadounidense, quien falleciera el reciente 22 de mayo, hace apenas ocho días. Gardner era nacido en 1914.
Clic AQUÍ para descargar el Capítulo.

Un curioso teorema

2010-03-07T18:41:00.002-03:00

Existen teoremas muy útiles e importantes. Hay otros que, aunque no muy útiles, nos muestran la belleza de la matemática y nos enseñan que no hay que buscar que todo sirva para algo (ése es uno de los males del mundo actual). Este último es el caso del teorema de Morley, descubierto en 1904 por el geómetra angloamericano Frank Morley (foto) (1860-1937).
Se trata de un enunciado sorprendente e inesperado, sobre todo porque se refiere a las trisectrices de los ángulos de un triángulo (existen muchos enunciados sobre bisectrices, pero escasean los de trisectrices).
En el documento que aquí les dejo hay varias demostraciones del teorema, junto con otros comentarios. (Clic AQUÍ para descargar). Fuente: Prof. Juan Manuel Conde, Universidad de Alicante.

La (ex) conjetura del fuelle

2010-02-21T00:36:00.003-03:00

Cuando pensamos en poliedros, damos por sentado que estos cuerpos son rígidos. Sin embargo, hay poliedros flexibles... La que fuera llamada "conjetura del fuelle", ya demostrada (en 1997 por Connelly, Sabitov y Walz), se refiere a este tipo de poliedros. La misma afirmaba que un poliedro flexible mantiene constante su volumen mientras cambia de forma. El archivo que les dejo para descarga consta de tres imágenes de páginas de la revista "Investigación y Ciencia" de septiembre 1998. Curiosamente, una vieja fórmula griega, la llamada fórmula de Herón, inspiró a los matemáticos que lograron demostrar la conjetura. Autor: Ian Stewart. (Clic para descarga)

Modelos de papel... ¡en todo un libro!

2010-02-03T23:19:00.000-03:00

Esto que les dejo aquí es espectacular: un libro completo con modelos de poliedros en papel. Se trata de "Paper models of polyhedra" (autor: Gijs Korthals Altes). Sólo imprimen la página que les interesa y... ¡arman el poliedro! Por supuesto, hay que ser paciente y tener cierta destreza, pero... si no se hace la prueba... Eso sí, ¡no se les ocurra comenzar con el icosidodecaedro truncado! (Aclaración: están permitidas las copias del libro con propósitos no comerciales). (Clic AQUÍ para descarga).

Poliedros maravillosos

2010-02-03T23:05:00.002-03:00

¡Hola! De cómo la geometría enlaza ciencia y arte: historia de un poliedro. Así se titula el artículo que les dejo aquí para su descarga, el cual es muy esclarecedor y nos permite ver con ojos nuevos la belleza encerrada en los poliedros. Se desarrolla en tres partes: primera, aspectos generales sobre poliedros; segunda: interacción entre poliedros y arte; tercera: situaciones relacionadas con áreas diversas de la ciencia donde aparecen estructuras poliedrales. Autora: prof. Edith Padrón, Universidad de La Laguna. (CLIC AQUÍ o en "Artículos para descargar").

La matemática en dos obras maestras

2010-01-03T00:10:00.000-03:00

¡Hola! Luego de desearles un feliz año 2010, les dejo para su disfrute un buen artículo de la Revista Unión, llamado Matemáticas para compartir la belleza, de Rafael Pérez Gómez. El autor nos ayuda a comprender la belleza de dos obras maestras de la pintura: Las Meninas (las de Velázquez y las de Picasso), vistas con un ojo matemático, particularmente geométrico, como puede sospecharse. Perspectiva, color, luz, nitidez... ¡vale la pena que lo lean! (clic AQUÍ para descarga).

Más Escher...

2009-12-28T00:23:00.000-03:00

Ante el genio solamente cabe callar. Sin dudarlo descarguen (¡CLIC!) una carpeta con obras imperdibles. ¡Que las admiren y disfruten!

Curso de geometría fractal

2009-12-19T23:54:00.000-03:00

¡Hola a todos! Les dejo aquí un curso de unas 50 páginas sobre geometría fractal y algo de teoria del caos. Lo he obtenido en el sitio www.fractaltec.org, ya mencionado en otro de los artículos de este blog. Como todo curso de iniciación, sirve para darnos información, pero más que nada para generarnos preguntas. En la búsqueda de las respuestas iremos avanzando en el estudio de esta joven rama de la geometría, ¡por demás apasionante! (DESCARGAR)

Bienvenido Escher

2009-12-12T00:36:00.000-03:00

Recibimos en el blog al famosísimo pintor holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Sus obras: grabado, litografías, xilografías, tienen gran interés matemático. Creó todo un mundo imaginario de figuras imposibles, jugó con la simetría, con el cubrimiento del plano, con los teselados... He agregado aquí un vinculo a su sitio oficial, aunque pueden encontrarse sus maravillosas obras en muchas otras páginas web y en libros.

De Euclides a Lobachevsky

2009-12-12T00:10:00.000-03:00

Las geometrías no euclidianas llegaron al mundo matemático luego de recorrer un largo camino. Precisamente así se llama el material que les dejo aquí (¡CLIC!): Un largo camino, de Euclides a Lobachevsky. Está tomado de una página web de la Universidad de Valencia, Facultad de Matemática. Nos presenta en breve espacio un sintético panorama de esta temática, como para ir motivando su estudio, por demás interesante, se los garantizo. (Nota: luego de descomprimir los archivos, hacer doble clic en el icono "Index" para iniciar el viaje).En la imagen: la pseudoesfera.

GeoGebra, un buen software

2009-11-17T23:43:00.002-03:00

GeoGebra es un software de geometría, similar al Geonext (ver artículo en este blog), de descarga y uso gratuitos. Con él podremos experimentar con construcciones geométricas sin necesidad de lápiz y papel. También puede constituirse en una potente herramienta para la enseñanza, o para preparar nuestras clases y apuntes. GeoGebra ofrece un triple tratamiento de los objetos geométricos: gráfico, algebraico y con tabla de datos, aspecto este muy interesante si se pretende relacionar las distintas representaciones de un mismo objeto.
En fin... ¡bienvenido Geogebra! ¡Y gracias a quienes crean estas maravillosas utilidades que ponen a disposición de todos! Para descargar: http://www.geogebra.org/cms/

Una presentación sobre FRACTALES

2009-11-03T10:07:00.000-03:00

Les dejo aquí (¡clic!) una presentación para Power Point sobre una introducción a la geometría fractal. La misma fue obtenida por mí en el sitio www.fractaltec.org, dedicado a investigación y difusión sobre geometría fractal y sus cada vez más numerosas aplicaciones. El material constituye una buena muestra del asunto y sirve, además de para tomar contacto con el tema, para generar preguntas (¡en ustedes y en los alumnos!).

¡Etimologías geométricas!

2009-11-03T00:14:00.001-03:00

¡Hola a todos, luego de tanto tiempo! Les dejo hoy una joyita interesante... un Breve diccionario etimológico de terminos geométricos (Fernando Lafarga Colubi). "La palabra es la habitación de la idea" nos dice este autor... ¡Qué acertada afirmación! Y agrega: "... cuantas más palabras conozcamos, más ideas, más conceptos tendremos, y más capacidad para la creación de otros nuevos... y, por ende, mayor será nuestra riqueza intelectual". Incorporemos etimologías en nuestros estudios y en nuestras enseñanzas. (Para descargar: clic aquí o en "Artículos para descargar")

Un programita educativo triangular

2009-10-26T00:14:00.000-03:00

Pueden descargar haciendo clic aquí, el sencillo pero sin duda útil software Triang v.1.10 (autor: F. J. García Capitán, 1998). Con él pueden dibujarse y resolverse triángulos, trazar alturas, medianas, circunferencias inscrita y circunscrita, etc. Haciendo clic y arrastrando un vértice se puede cambiar la forma del triángulo. ¡Bueno, a experimentar!

Los Elementos de Euclides on line

2009-10-09T00:54:00.000-03:00

Una maravilla. Pueden "visitar" cualquier libro de los trece (I - XIII) que constituyen los Elementos de Euclides, y ubicar en el texto cualquiera de sus proposiciones. Hagan clic aquí para acceder. También es posible manipular algunas de las figuras con el mouse para ver variaciones de ellas. Les dejo el vínculo de una página ejemplo aquí (¡clic!): en la figura que aparece hagan clic y arrastren el punto C y verán. Ánimo, el texto está en inglés.

La circunferencia de los nueve puntos... ¿la conocen?

2009-10-06T08:47:00.003-03:00

Esta circunferencia es una cosita bastante llamativa. También denominada de Feuerbach, es una muestra de la insaciable curiosidad de legiones de matemáticos que han enfocado su actividad hacia el más simple de los polígonos: el triángulo. Hay cientos de teoremas y de objetos matemáticos que han surgido de los estudios de este humilde polígono. En el artículo que les dejo aquí (¡CLIC!) descubrimos los puntos, la recta y el segmento de Euler, y los puntos y segmentos de Poncelet. ¡Hay para todos los gustos!

Cálculo de Pi con funciones trigonométricas

2009-10-06T08:15:00.000-03:00

En el artículo que les dejo aquí (¡clic!) encontrarán una manera de calcular Pi mediante las funciones seno y tangente. También se incluye una demostración elemental de la existencia de ese importante número. Es interesante para llevar algunas ideas al aula de nivel medio (cursos superiores). ¡Adaptarlas es un desafío!

Geometría de los rosetones

2009-09-28T23:47:00.006-03:00

Los rosetones son esos maravillosos ventanales circulares que forman parte de la arquitectura de las catedrales medievales. Sus dibujos geométricos están íntimamente vinculados con los polígonos regulares. Aquí (clic) les dejo un muy buen artículo tomado de la Revista Unión: La motivación de la belleza, que nos enseña los secretos del trazado de esos dibujos. Es un precioso ejemplo de estética matemática, de relación entre geometría y arte.

Revista Unión

2009-09-19T17:48:00.001-03:00

Les dejo en "Enlaces a mano" un vínculo al índice de la Revista Unión (de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática, FISEM), en formato digital. En ella podrán hallar artículos muy interesantes sobre variados aspectos de la enseñanza matemática, y también de temas de geometría.

Exposición de Geometría Proyectiva

2009-09-11T19:43:00.002-03:00

Les dejo un vínculo a una exposición realizada en la Universidad Complutense de Madrid en 2007, sobre una rama bastante antigua y desconocida de la Geometría: la Proyectiva. Al recorrerla podrán ir accediendo a través de links a contenido más específico y también es posible descargar unas láminas muy didácticas que resumen aspectos mostrados en la exposición. Es interesante para empezar a conocer un poco de este universo ignorado y algo descuidado llamado "geometría proyectiva". Clic AQUÍ.
.

Software geométrico: Geonext

2009-09-06T23:53:00.001-03:00

Si desean experimentar ustedes solos o con alumnos con un excelente software gratuito, descarguen Geonext (clic aquí). No se arrepentirán. La página es de Alemania, pero sólo deben escoger "Spanish" en una casilla de opciones de la página inicial y listo.

¿Buscan algo?: Wolfram MathWorld

2009-09-01T00:35:00.001-03:00

Para quienes deseen investigar geometría o cualquier otra rama matemática, es sitio de referencia en Internet el Wolfram MathWorld, construido con la tecnología de Wolfram Research, los inventores del famoso software Mathematica. Busquen el vínculo en "Enlaces a mano".

El árbelos, estética geométrica

2009-09-01T00:24:00.001-03:00

La figura que adorna nuestro sublog es el árbelos o "cuchillo de zapatero". Al parecer fue estudiada por primera vez por el gran Arquímedes. Hagan clic aquí y descarguen un documento pdf con... ¡pura estética geométrica!

Poliedros maravillosos... de papel

2009-08-31T20:46:00.001-03:00

¡Hola Geometría! Aquí les dejo un vínculo a una página que nos brinda imágenes y desarrollos en papel de muchísimos poliedros, para imprimir y armar: http://www.korthalsaltes.com/es/index.html. Para aprender y enseñar de manera bien práctica.